Ａ／Ｄ変換

さてさて昨今はやりのディジタル技術ですが、アナログ信号をどうやってディジタル信号にするのか。ここでは、訳の分からない数式なしで直感的に説明したいと思います。

Ａ／Ｄ変換（アナログ→ディジタル）ではアナログ信号（時間的に連続）をとびとびのディジタル信号（これを離散値という）にするために次の２つのことを行います。つまり時間的な離散とその時間における値の離散を行います。

標本化（サンプリング）←時間的離散化
量子化←値の離散化

まず、サンプリング。これはある時間間隔（通常は一定の同じ間隔）おきにその時間におけるアナログ信号の値をとることです。時間間隔をどれだけ小さくとるか、つまり１秒間に何回値をとるか（サンプルするか）というのがサンプリング周波数です。例えば電話の音声のサンプリングは８[kHz]です。これはつまり、１秒間に８，０００回サンプルしているということです。ＣＤのサンプル周波数は４４．１[kHz]。つまり、１秒間に４４，１００回もサンプルしているのです。単純に考えてもサンプリング周波数が高い方が、より正確にアナログ信号をディジタル化しているのがわかると思います。事実、電話の音声よりもＣＤの音の方がいいのはご存じの通り。
しかし直感的に考えても、いくら早くサンプルしてもとびとびの値では厳密に考えると元のアナログ信号には戻せないように思えます。ところが数学上ではある周波数以上でサンプルすると完全に元のアナログ信号に戻せるということが証明できます。簡単にいうと、アナログ信号の含む最大周波数の２倍の周波数以上でサンプリングすると、完全に元のアナログ信号に戻せるのです。このことを標本化定理(sampling theory)といいます。
なんかとびとびの値から元のアナログ信号が寸分違わず復元できるというのは不思議な感じですが数学的には可能なのです。数学的にというのを強調するのは現実には不可能だからです。これを説明しだすと数学が絡んでくるのでややこしくなるのですが簡単にいうと、あるサンプリング周波数でディジタル化した信号をアナログ信号に戻すともともとの周波数のアナログ信号とともに元のアナログ信号の周波数にサンプリング周波数の整数倍だけ足した周波数を持つアナログ信号もできるのです。簡単にいうと高周波成分が生まれるわけです。そこでもとの周波数の信号だけ取り出すために特定の範囲の周波数だけを通すフィルターに通してやるわけなのですが、完全に特定の周波数だけを通すフィルターを数学上は作れても現実には作れないのです。（もっと知りたい人はこの種の本を読んでください。）
まぁ、現実にはフィルターは作れないわけですが理想フィルターにかなり近いものは工夫して作れるのでサンプリング定理は意味のあるものです。ただもう一つ。元のアナログ信号がサンプリング周波数の１／２よりも高い周波数を含んでいるとエリアジングが起こり元に戻したときに実際よりも低い周波数成分も含まれてしまいます。これを防ぐために、サンプリングする前に高周波成分をカットします。ＣＤもたしか２０[kHz]以上の成分はカットしています。

このエリアジングは、おそらく経験したことのある人がたくさんいると思います。例えば、高速で回転しているタイヤのホイールを見たときに、なんか実際よりゆっくり回転してるように見えたり、時には逆回転してるように見えたりした経験はないでしょうか。これがエリアジングです。人間の目もある意味サンプリングしているようなものであまりにも早いものは見ることができません。例えばホイールのある部分を見て次の瞬間その部分が時計回りに１０度回転した場所に見えたとします。そして次の瞬間その部分がさらに時計回りに１０度回転した場所に見えたとします。人間の目にはホイールが時計回りに回っているように見えますが、実際は人間に見える瞬間と瞬間の間に時計回りに３７０度回転しているかもしれません。つまり、人が思っている早さの２倍で回っているかもしれません。もしかすると瞬間と瞬間の間に反時計回りに３５０度回転しているかもしれません。でも人間の目には時計回りに回っているように見えます。
これがエリアジングです。実際の回転よりも遅い速さのものが人間の目に見える可能性があるわけです。つまり、人間の目は自然に一番周波数の低いものを感じるわけです。時計回りに１０度回転しているように感じ、３７０度つまりもう１回転しているとは感じないのです。反時計回りに３５０度回転しているとは感じないのです。こういうことを考えると、目に見えるものが真実とは限らない！？

さて、時間的な離散の次はその時間における値の離散化、つまり量子化です。標本化においてはある条件を満たせば理論的には元のアナログ信号の情報を漏らすことなく完全にディジタル化することができましたが、アナログ信号の情報を完全に失うことなく量子化することはできません。つまり量子化レベルは多ければ多いほど元に戻したときにアナログ信号により近づけることができます。（その分データ量も多くなりますが。）例えば電話の音声は８ｂｉｔ量子化。 2⁸=２５６段階に分けます。つまりある時間の値が２５６個の値のうちの一番近い値とされます。これによって生じる誤差を量子化誤差といいます。ちなみにＣＤは１６ｂｉｔ量子化で画像は８ｂｉｔ量子化。
量子化ステップをすべて同じにする方法を一様量子化といい、量子化ステップが一定でないのを非線形量子化といいます。電話の音声は非線形量子化です。電話の音声では頻繁に現れる小さな値の量子化ステップを細かくし、値の大きな所では量子化ステップを荒くします。こうすれば、頻繁に現れる値の量子化誤差を小さくできる上に、Ｓ／Ｎ比（信号電力と雑音電力（ここでは主に量子化誤差によるノイズ）の比）を一様にできます。つまり、信号電力が小さいところでは雑音電力も小さくできるのです。こうして、電話の音声はかなり効率よくＰＣＭ(pulse code modulation)化されます。
一方ＣＤは一様量子化です。これは、楽器などの音は大きな音と小さな他の音が混じり合っているために、大きな値で量子化を荒くしてしまうと大きな音に混じっている小さな音が消されてしまうからです。このためＣＤでは電話の倍の１６ｂｉｔ量子化でＰＣＭ化されているのです。

これがＡ／Ｄ変換の原理です。元のアナログ信号と異なる形にしてまでもディジタル化する理由はディジタルは高品質？？？に書いたとおりです。
ちなみに、ＣＤは標本化、量子化共に行っていますが、ＬＤは標本化のみ行っています。つまり量子化は行われておらず、ある時間における値はアナログ量で記録されています。つまり、ＣＤのピットはすべて同じ大きさの穴で、あるかないかで判断されていますが、ＬＤのピットはそれぞれ大きさが違い、穴の大きさである時間におけるアナログ量の値を読みとっています。

N.Wakayama update November.17.1997